Question

设a∈R，函数f（x）=ax³-2x²-4ax，
（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求函数f（x）在区间[-1，5]上的最值．
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在R上为单调函数，若是，求实数a的取值范围；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用x=2是函数y=f（x）的极值点，求出a，然后利用导数和最值之间的关系确定函数的最值．
（2）要使函数f（x）在R上为单调函数，则f'（x）符合不变化．

解答：解：（1）函数的导数f'（x）=3ax²-4x-4a，
因为x=2是函数y=f（x）的极值点，
所以f'（2）=12a-8-4a=0，
即8a-8=0，所以a=1．
所以f'（x）=3x²-4x-4=（3x+2）（x-2），
由f'（x）＞0得，-1＜x＜-

2

3

或2＜x＜5，此时函数单调递增．
由f'（x）＜0得，-

2

3

＜x＜2，此时函数单调递减．
所以当x=-

2

3

时，函数取得极大值，当x=2时，函数取得极小值．
又f(-1)=1，f(-

2

3

)=

40

27

，f(2)=-8，f(5)=55，
所以最大值为55，最小值为-8．
（2）若a=0，则f（x）=-2x²，在R上不单调，所以a=0不成立．
若a≠0，则导数f'（x）=3ax²-4x-4a，对应的判别式△=16+48a²＞0恒成立．
所以不存在实数a，使得函数f（x）在R上为单调函数．

点评：本题主要考查函数的极值，最值与函数单调性的关系，要求熟练掌握对应的关系．