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例4:已知数列{an}首项a1>1,公比q>0的等比数列,设bn=log2an(n∈N*),且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0,记{bn}的前n项和为Sn,当
S1
1
+
S2
2
+…+
Sn
n
最大时,求n的值.
分析:先根据b1+b3+b5=6及bn=log2an,求得a3的值,再根据b1b3b5=0,则a1a3a5必有一个是1,a1>1,a3=4分析得a5=1,进而可求得数列{an}的通项公式,代入bn=log2an中求得{bn}的通项公式.要使
S1
1
+
S2
2
+…+
Sn
n
最大即求使
Sn
n
≥0的最后一项,进而可得答案.
解答:解:∵b1+b3+b5=6,
∴log2a1+log2a3+log2a5=log2(a1a3a5)=log23a36
解得a3=4
∵b1b3b5=0,则a1a3a5必有一个是1
∵a1>1 a3=4
∴a5=1
由a3和a5易得an=2(5-n)
∴bn=5-n
Sn=
n(b1+bn)
2
=
(9-n)n
2

要使
S1
1
+
S2
2
+…+
Sn
n
最大
即求使
Sn
n
≥0的最后一项
易得n为8或9
点评:本题主要考查了等比数列的性质.涉及了数列的最值问题.属中档题.
练习册系列答案
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都有根α、β且满足(α-1)(β-1)=2.
(1)求证数列{an-
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}
是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.

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都有根α、β且满足(α-1)(β-1)=2.
(1)求证数列是等比数列.
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