Question

例4：已知数列{a_n}首项a₁＞1，公比q＞0的等比数列，设b_n=log₂a_n（n∈N*），且b₁+b₃+b₅=6，b₁b₃b₅=0，记{b_n}的前n项和为S_n，当

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

最大时，求n的值．

Answer 1

分析：先根据b₁+b₃+b₅=6及b_n=log₂a_n，求得a₃的值，再根据b₁b₃b₅=0，则a₁a₃a₅必有一个是1，a₁＞1，a₃=4分析得a₅=1，进而可求得数列{a_n}的通项公式，代入b_n=log₂a_n中求得{b_n}的通项公式．要使

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

最大即求使

Sn

n

≥0的最后一项，进而可得答案．

解答：解：∵b₁+b₃+b₅=6，
∴log₂a₁+log₂a₃+log₂a₅=log₂（a₁a₃a₅）=log₂³a₃6
解得a₃=4
∵b₁b₃b₅=0，则a₁a₃a₅必有一个是1
∵a₁＞1 a₃=4
∴a₅=1
由a₃和a₅易得a_n=2^（5-n）
∴bn=5-n
Sn=

n(b1+bn)

2

=

(9-n)n

2

要使

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

最大
即求使

Sn

n

≥0的最后一项
易得n为8或9

点评：本题主要考查了等比数列的性质．涉及了数列的最值问题．属中档题．