Question

1．设不等式-2＜|x-1|-|x+2|＜0的解集为M，a，b∈M．
（Ⅰ）证明：|$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{6}$b|＜$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）比较|1-4ab|与2|a-b|的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果，说明ab的范围，比较|1-4ab|与2|a-b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．

解答 解：（Ⅰ）记f（x）=|x-1|-|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{3，x≤-1}\\{-2x-1，-1＜x＜1}\\{-3，x≥1}\end{array}\right.$，
由-2＜-2x-1＜0解得-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$，则M=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．…（3分）
∵a、b∈M，∴|a|＜$\frac{1}{2}$，|b|＜$\frac{1}{2}$，
∴|$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{6}$b|≤$\frac{1}{3}$|a|+$\frac{1}{6}$|b|＜$\frac{1}{4}$．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a²＜$\frac{1}{4}$，b²＜$\frac{1}{4}$．
因为|1-4ab|²-4|a-b|²=（1-8ab+16a²b²）-4（a²-2ab+b²）
=（4a²-1）（4b²-1）＞0，…（9分）
所以|1-4ab|²＞4|a-b|²，故|1-4ab|＞2|a-b|．…（10分）

点评 本题考查不等式的证明，绝对值不等式的解法，考查计算能力．