Question

（2013•济宁二模）已知n∈N^*，数列{d_n}满足dn=

3+(-1)n

2

，数列{a_n}满足a_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2n；数列{b_n}为公比大于1的等比数列，且b₂，b₄为方程x²-20x+64=0的两个不相等的实根．
（Ⅰ）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）将数列{b_n}中的第a₁项，第a₂项，第a₃项，…，第a_n项，…删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c_n}，求数列{c_n}的前2013项和．

Answer 1

分析：（I）先根据a_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2n直接得出数列{a_n}的通项公式；利用b₂，b₄为方程x²-20x+64=0的两个不相等的实数根，列方程解得b₂=4，b₄=16，从而由等比数列的通项公式得数列{b_n}的通项公式；
（II）由题知将数列{b_n}中的第3项、第6项、第9项…删去后构成的新数列{c_n}中的奇数列与偶数列仍成等比数列，求得数列{b_n}的通项公式，再利用等比数列的前n项和公式求数列{c_n}的前2013项和即可．

解答：解：（Ⅰ）∵dn=

3+(-1)n

2

，
∴a_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2n=

3×2n

2

=3n…（3分）
因为b₂，b₄为方程x²-20x+64=0的两个不相等的实数根．
所以b₂+b₄=20，b₂•b₄=64…（4分）
解得：b₂=4，b₄=16，
所以：bn=2n…（6分）
（Ⅱ）由题知将数列{b_n}中的第3项、第6项、第9项…删去后构成的新数列{c_n}中的奇数列与偶数列仍成等比数列，
首项分别是b₁=2，b₂=4公比均是8，…（9分）
T₂₀₁₃=（c₁+c₃+c₅+…+c₂₀₁₃）+（c₂+c₄+c₆+…+c₂₀₁₂）
=

2×(1-81007)

1-8

+

4×(1-81006)

1-8

=

20×81006-6

7

…（12分）

点评：本题主要考查了等差、等比数列的通项公式和前n项和公式的运用，一般数列的求和方法，属基础题．