Question

【题目】f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.

(1)证明：f(x)是奇函数；

(2)证明：f(x)在R上是减函数；

(3)求f(x)在区间[－3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(1)函数f(x)的定义域R关于原点对称，又由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，

得f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)，

∴f(x)＋f(－x)＝f(0)．

又f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，

∴f(0)＝0.从而有f(x)＋f(－x)＝0，

∴f(－x)＝－f(x)．由于x∈R，

∴f(x)是奇函数．

(2)任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则

f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)]＝－f(x2－x1)．

∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.

∴f(x2－x1)＜0.

∴－f(x2－x1)＞0，即f(x1)＞f(x2)，从而f(x)在R上是减函数．

(3)由于f(x)在R上是减函数，故f(x)在[－3，3]上的最大值是f(－3)，最小值是f(3)，由f(1)＝－2，得

f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝－6，

f(－3)＝－f(3)＝6.从而f(x)在区间[－3，3]上的最大值是6，最小值是－6.