Question

已知，当mn取得最小值时，直线与曲线交点个数为________．

Answer 1

2
分析：由均值不等式1=，当且仅当时等号成立，所以m=2，n=4．故．①当x＞0，y＞0，表示的椭圆；②当x＞0，y＜0，表示以x轴为实轴的双曲线；③当x＜0，y＞0，表示以y轴为实轴的双曲线；④当x＜0，y＜0，表示，因为左边恒≤0所以不可能=右边，所以此时无解．作出图象能得到结果．
解答：解：由均值不等式
1=，
当且仅当时等号成立，
也就是，
所以m=2，n=4．
∵，
∴．
①当x＞0，y＞0，
表示的椭圆；
②当x＞0，y＜0，
表示以x轴为实轴的双曲线；
③当x＜0，y＞0，
表示以y轴为实轴的双曲线；
④当x＜0，y＜0，
表示，
因为左边恒≤0所以不可能=右边，
所以此时无解．
所以如图得到图象，
结合图象知直线与曲线交点个数是2个．
故答案为：2．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，解题时要注意均值定理和分类讨论思想、数形结合思想的合理运用．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，常因分类不清易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．