【题目】已知空间几何体ABCDE中,△BCD与△CDE均是边长为2的等边三角形,△ABC是腰长为3的等腰三角形,平面CDE⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD.
(1)试在平面BCD内作一条直线,使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行,并给出证明;
(2)求三棱锥E-ABC的体积.
【答案】(1)取DC的中点N,取BD的中点M,连接MN,则MN即为所求,证明见解析(2)
【解析】
(1)取DC的中点N,取BD的中点M,连接MN,则MN即为所求,证明EN∥AH,MN∥BC可得平面EMN∥平面ABC即可(2)因为点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等,求三棱锥E-ABC的体积可转化为求三棱锥N-ABC的体积,根据体积公式计算即可.
(1)如图所示,取DC的中点N,取BD的中点M,连接MN,则MN即为所求.
证明:连接EM,EN,取BC的中点H,连接AH,
∵△ABC是腰长为3的等腰三角形,H为BC的中点,
∴AH⊥BC,又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,AH平面ABC,
∴AH⊥平面BCD,同理可证EN⊥平面BCD,
∴EN∥AH,
∵EN平面ABC,AH平面ABC,
∴EN∥平面ABC.
又M,N分别为BD,DC的中点,
∴MN∥BC,
∵MN平面ABC,BC平面ABC,
∴MN∥平面ABC.
又MN∩EN=N,MN平面EMN,EN平面EMN,
∴平面EMN∥平面ABC,
又EF平面EMN,
∴EF∥平面ABC,
即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.
(2)连接DH,取CH的中点G,连接NG,则NG∥DH,
由(1)可知EN∥平面ABC,
∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等,
又△BCD是边长为2的等边三角形,
∴DH⊥BC,
又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,DH平面BCD,
∴DH⊥平面ABC,∴NG⊥平面ABC,
易知DH=,∴NG=,
又S△ABC=·BC·AH=×2×=2,
∴VE-ABC=·S△ABC·NG=.
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【题目】已知函数为偶函数.
(1)求实数的值;
(2)若不等式恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若函数,,是否存在实数m,使得的最小值为2,若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知集合M={x|x<-3,或x>5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}.
(1)求M∩P={x|5<x≤8}的充要条件;
(2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件.
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【题目】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据,如下表所示:
已知这100位顾客中一次性购物超过8件的顾客占55%.
一次性购物 | 1至4件 | 5至8件 | 9至12件 | 13至16件 | 17件及以上 |
顾客数(人) | 30 | 25 | 10 | ||
结算时间(分/人) | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
(1)求,的值;
(2)求一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率(频率代替概率).
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【题目】某企业生产某种产品,为了提高生产效益,通过引进先进的生产技术和管理方式进行改革,并对改革后该产品的产量x(万件)与原材料消耗量y(吨)及100件产品中合格品与不合格品数量作了记录,以便和改革前作对照分析,以下是记录的数据:
表一:改革后产品的产量和相应的原材料消耗量
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
表二:改革前后定期抽查产品的合格数与不合格数
合格品的数量 | 不合格品的数量 | 合计 | |
改革前 | 90 | 10 | 100 |
改革后 | 85 | 15 | 100 |
合计 | 175 | 25 | 200 |
(1)请根据表一提供数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程.
(2)已知改革前生产7万件产品需要6.5吨原材料,根据回归方程预测生产7万件产品能够节省多少原材料?
(3)请根据表二提供的数据,判断是否有90%的把握认为“改革前后生产的产品的合格率有差异”?
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐标方程为,过点的直线l的参数方程为(为参数),直线l与曲线C交于M、N两点。
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程:
(2)若成等比数列,求a的值。
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【题目】已知不经过原点的直线在两坐标轴上的截距相等,且点在直线上.
(1)求直线的方程;
(2)过点作直线,若直线,与轴围成的三角形的面积为2,求直线的方程.
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