精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

【题目】已知空间几何体ABCDE中,△BCD与△CDE均是边长为2的等边三角形,△ABC是腰长为3的等腰三角形,平面CDE⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD.

(1)试在平面BCD内作一条直线,使得直线上任意一点FE的连线EF均与平面ABC平行,并给出证明;

(2)求三棱锥EABC的体积.

【答案】(1)取DC的中点N,取BD的中点M,连接MN,则MN即为所求,证明见解析(2)

【解析】

1)取DC的中点N,取BD的中点M,连接MN,则MN即为所求,证明ENAHMNBC可得平面EMN∥平面ABC即可(2)因为点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等,求三棱锥EABC的体积可转化为求三棱锥NABC的体积,根据体积公式计算即可.

(1)如图所示,取DC的中点N,取BD的中点M,连接MN,则MN即为所求.

证明:连接EMEN,取BC的中点H,连接AH

∵△ABC是腰长为3的等腰三角形,HBC的中点,

AHBC,又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC平面BCDBCAH平面ABC

AH⊥平面BCD,同理可证EN⊥平面BCD

ENAH

EN平面ABCAH平面ABC

EN∥平面ABC.

MN分别为BDDC的中点,

MNBC

MN平面ABCBC平面ABC

MN∥平面ABC.

MNENNMN平面EMNEN平面EMN

∴平面EMN∥平面ABC

EF平面EMN

EF∥平面ABC

即直线MN上任意一点FE的连线EF均与平面ABC平行.

(2)连接DH,取CH的中点G,连接NG,则NGDH

(1)可知EN∥平面ABC

∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等,

又△BCD是边长为2的等边三角形,

DHBC

又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC平面BCDBCDH平面BCD

DH⊥平面ABC,∴NG⊥平面ABC

易知DH,∴NG

SABC·BC·AH×2×2

VEABC·SABC·NG.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知函数为偶函数.

1)求实数的值;

2)若不等式恒成立,求实数a的取值范围;

3)若函数,是否存在实数m,使得的最小值为2,若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知集合M={x|x<-3,或x>5},P={x|(xa)·(x-8)≤0}.

(1)求MP={x|5<x≤8}的充要条件;

(2)求实数a的一个值,使它成为MP={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据,如下表所示:

已知这100位顾客中一次性购物超过8件的顾客占55%.

一次性购物

1至4件

5至8件

9至12件

13至16件

17件及以上

顾客数(人)

30

25

10

结算时间(分/人)

1

1.5

2

2.5

3

(1)求的值;

(2)求一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率(频率代替概率).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】某企业生产某种产品,为了提高生产效益,通过引进先进的生产技术和管理方式进行改革,并对改革后该产品的产量x(万件)与原材料消耗量y(吨)及100件产品中合格品与不合格品数量作了记录,以便和改革前作对照分析,以下是记录的数据:

表一:改革后产品的产量和相应的原材料消耗量

x

3

4

5

6

y

2.5

3

4

4.5

表二:改革前后定期抽查产品的合格数与不合格数

合格品的数量

不合格品的数量

合计

改革前

90

10

100

改革后

85

15

100

合计

175

25

200

(1)请根据表一提供数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程.

(2)已知改革前生产7万件产品需要6.5吨原材料,根据回归方程预测生产7万件产品能够节省多少原材料?

(3)请根据表二提供的数据,判断是否有90%的把握认为“改革前后生产的产品的合格率有差异”?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知数列的前项和为,且.

(1)求数列的通项公式

(2)设数列的前项和为证明:.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】如图,已知正三棱柱的高为3,底面边长为,点分别为棱的中点.

1)求证:直线平面

2)求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】在平面直角坐标系xoy中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐标方程为,过点的直线l的参数方程为(为参数),直线l与曲线C交于MN两点。

(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程:

(2)若成等比数列,求a的值。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知不经过原点的直线在两坐标轴上的截距相等,且点在直线.

1)求直线的方程;

2)过点作直线,若直线轴围成的三角形的面积为2,求直线的方程.

查看答案和解析>>

同步练习册答案