Question

如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面．

（1）证明：平面.；
（2）若，求三棱锥的体积．

Answer 1

（1）见解析（2）

试题分析：（1）要证平面,需证与平面内的两条相交直线都垂直，
由平面,可证，由平面，可证.根据线面垂直的判定定理，
可证平面.（2）设矩形的对角线的交点为,连结，由（1）的结论可知平面，从而有，所以矩形为正方形，边长为2；由平面，知，因此与相似，可确定的各边长，然后由求三棱锥的体积.
试题解析：（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD．
∵PC⊥平面BDE，
∴PC⊥BD．
又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC．                  6分

（2）如图，设AC与BD的交点为O，连结OE．
∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE．
由（1）知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，
由题设条件知，四边形ABCD为正方形．
由AD＝2，得AC＝BD＝2，OC＝．
在Rt△PAC中，PC＝＝＝3．
易知Rt△PAC∽Rt△OEC，
∴＝＝，即＝＝，∴OE＝，CE＝．
∴V_E-BCD＝S_△CEO·BD＝·OE·CE·BD＝···2＝．   13分