Question

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角A-CD-M的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证BC⊥平面ACD，只需证明BC垂直平面ACD内的两条相交直线AC、OD即可；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，求二面角A-CD-M的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）在图1中，可得AC=BC=2

2

，从而AC²+BC²=AB²，故AC⊥BC
取AC中点O连接DO，则DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC，
面ADC∩面ABC=AC，DO?面ACD，从而OD⊥平面ABC，（4分）
∴OD⊥BC
又AC⊥BC，AC∩OD=O，
∴BC⊥平面ACD（6分）
另解：在图1中，可得AC=BC=2

2

，
从而AC²+BC²=AB²，故AC⊥BC
∵面ADC⊥面ABC，面ADE∩面ABC=AC，BC?面ABC，从而BC⊥平面ACD
（Ⅱ）建立空间直角坐标系O-xyz如图所示，
则M(0，

2

，0)，C(-

2

，0，0)，
D(0，0，

2

)

CM

=(

2

，

2

，0)，

CD

=(

2

，0，

2

)（8分）
设

n1

=(x，y，z)为面CDM的法向量，
则

n1 • CM =0 n1 • CD =0

即

2 x+ 2 y=0 2 x+ 2 z=0

，解得

y=-x z=-x

令x=-1，可得

n1

=(-1，1，1)
又

n2

=(0，1，0)为面ACD的一个法向量
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

1

3

=

3

3

∴二面角A-CD-M的余弦值为

3

3

．（12分）

点评：本题考查直线与平面的存在的判定，二面角的求法，考查逻辑思维能力和空间想象能力，是中档题．