Question

若函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d是奇函数，且
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）求函数f(x)在[－1，m](m＞－1)上的最大值；
（3）设函数g(x)＝，若不等式g(x)·g(2k－x)≥(－k)²在(0，2k)上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

f(x)＝－x³＋x，f(x)_max＝，(0，)]．

解：（1）函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d是奇函数，则b＝d＝0，
　　　　　　∴f ^/(x)＝3ax²＋c，则
　故f(x)＝－x³＋x；………………………………3分
　　　（2）∵f ^/(x)＝－3x²＋1＝－3(x＋)(x－)
　　∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是
增函数，在[－，]上是减函数，
由f(x)＝0解得x＝±1，x＝0，　
如图所示，
　　　　　　当－1＜m＜0时，
f(x)_max＝f(－1)＝0；
当0≤m＜时，f(x)_max＝f(m)＝－m³＋m，
当m≥时，f(x)_max＝f()＝．
　　　　　　故f(x)_max＝．………………8分
　　　　（3）g(x)＝(－x)，令y＝2k－x，则x、y∈R^＋，且2k＝x＋y≥2，
　　　　　　　又令t＝xy，则0＜t≤k²，
　　　　　　　故函数F(x)＝g(x)·g(2k－x)＝(－x)(－y)＝＋xy－
　＝＋xy－＝＋t＋2，t∈(0，k²]
　　　　　　　当1－4k²≤0时，F(x)无最小值，不合
　　　　　　　当1－4k²＞0时，F(x)在(0，]上递减，在[，＋∞)上递增，
　　　　　　　且F(k²)＝(－k)²，∴要F(k²)≥(－k)²恒成立，
　　　　　　必须，
　　　　　　故实数k的取值范围是(0，)]．………………12分