Question

如图，在边长为3的正三角形ABC中，G、F为边AC的三等分点，E、P分别是AB、BC边上的点，满足AE=CP=1，今将△BEP，△CFP分别沿EP，FP向上折起，使边BP与边CP所在的直线重合，B，C折后的对应点分别记为B₁，C₁．
（Ⅰ）求证：C₁F∥平面B₁GE；
（Ⅱ）求证：PF⊥平面B₁EF．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取EP的中点D，连接FD、C₁D、C₁F．利用平行线的性质，证出△B₁EP中EP∥GF且EP=GF，从而得到四边形GEDF为平行四边形，得FD∥GE．结合DC₁∥EB₁且DC₁、FD是平面DFC₁内的相交直线，GE、B₁E是平面B₁GE内的相交直线，得到平面DFC₁∥平面B₁GE，从而证出C₁F∥平面B₁GE．
（II）连接EF，B₁F，由△BEP内由余弦定理算出EF²=3，可得FP²+EF²=EP²，得PF⊥EF．根据△PB₁F的中线C₁F=PB₁，证出B₁F⊥PF，结合线面垂直的判定定理，即可证出PF⊥平面B₁EF．
解答：解：（Ⅰ）取EP的中点D，连接FD、C₁D、C₁F．
∵BC=3，CP=1，∴折起后C₁为B₁P的中点．
∴在△B₁EP中，DC₁∥EB₁，…（1分）
又∵AB=BC=AC=3，AE=CP=1，
∴，∴EP=2且EP∥GF．…（2分）
∵G，F为AC的三等分点，∴GF=1．
又∵，∴GF=ED，…（3分）
∴四边形GEDF为平行四边形．
∴FD∥GE．…（4分）
又∵DC₁∩FD=D，GE∩B₁E=E，
∴平面DFC₁∥平面B₁GE．…（5分）
又∵C₁F?平面DFC₁
∴C₁F∥平面B₁GE．…（6分）
（Ⅱ）连接EF，B₁F，由已知得∠EPF=60°，且FP=1，EP=2，
由余弦定理，得EF²=1²+2²-2×1×2×cos60°=3
∴FP²+EF²=EP²，可得PF⊥EF．…（8分）
∵B₁C₁=PC₁=1，C₁F=1，得FC₁=B₁C₁=PC₁，
∴△PB₁F的中线C₁F=PB₁，可得△PB₁F是直角三角形，即B₁F⊥PF．…（10分）
∵EF∩B₁F=F，EF、B₁F?平面B₁EF
∴PF⊥平面B₁EF．…（12分）
点评：本题以折叠问题为载体，利用面面平行证明线面平行，并证明线面垂直．着重考查了三角形中位线定理、直角三角形的判定、空间线面平行和线面垂直的判定定理等知识，属于中档题．