Question

给出下列四个命题：
①如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β
②如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β
③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ
④α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ
其中为真命题的序号为________．

Answer 1

①③④
分析：根据面面垂直的性质定理，可得①正确；根据面面垂直的性质定理，通过举反例可得②错；根据面面垂直的性质与判定，结合线面垂直的判定定理，得到③正确；根据面面平行的传递性与线面垂直的性质，可得④正确．
解答：对于①，如果α⊥β，设它们的交线为l，
在α内作垂直于l的直线m，可得m⊥β，故①正确；
对于②，如果α⊥β，设它们的交线为l，
在α内作直线n与l相交且不垂直，则n不能与β垂直，故②错；
对于③，如果α⊥γ，β⊥γ，设α、γ的交线为a，β、γ的交线为b，
在γ内取a、b外的一点O，作OA⊥a于A，OB⊥b于B，
∵α⊥γ，α∩γ=A，OA?γ，OA⊥a
∴OA⊥α
∵α∩β=l?l?α
∴OA⊥l，同理OB⊥l
∵OA、OB?γ，OA∩OB=O
∴l⊥γ，故③正确；
对于④，因为α∥β且m⊥α，所以m⊥β
又因为β∥γ，所以m⊥γ，故④正确．
故答案为：①③④
点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了平面与平面垂直、平面与平面平行的性质与判定，同时还考查了空间的平行与垂直之间的联系，属于中档题．