Question

【题目】已知向量 =（an ， 2n）， =（2n+1 ， ﹣an+1），n∈N* ， 向量 与 垂直，且a1=1
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn=log2an+1，求数列{anbn}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵向量 与 垂直，∴2nan+1﹣2n+1an=0，

即2nan+1=2n+1an，

∴ =2∴{an}是以1为首项，2为公比的等比数列

∴an=2n﹣1

（2）解：∵bn=log2a2+1，∴bn=n

∴anbn=n2n﹣1，…（8分）

∴Sn=1+2×2+3×22+…+（n﹣1）×2n﹣2+n×2n﹣1 …①

∴2Sn=1×2+2×22+…（n﹣1）×2n﹣1+n×2n …②

由①﹣②得，﹣Sn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n×2n=

=（1﹣n）2n﹣1

∴Sn=1﹣（n+1）2n+n2n+1=1+（n﹣1）2n．

【解析】（1）由向量 与 垂直，得2nan+1=2n+1an ， ∴{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可求an（2）由anbn=n2n﹣1 ， 则Sn=1+2×2+3×22+…+（n﹣1）×2n﹣2+n×2n﹣1 ， 利用错位相减法可求其和．
【考点精析】本题主要考查了等差数列的通项公式（及其变式）和等比数列的前n项和公式的相关知识点，需要掌握通项公式：或；前项和公式：才能正确解答此题．