Question

6．设函数f（x）=|log₂（x-1）|，作出 f（x）图象，写出f（x）的单调减区间，并加以证明．

Answer 1

分析 根据对数函数的性质将函数f（x）表示为分段函数形式，进行作图即可，根据函数单调性的定义进行求解和判断．

解答 解：由log₂（x-1）＞0得x-1＞1，即x＞2，
由log₂（x-1）≤0得0＜x-1≤1，即1＜x≤2，
即f（x）=|log₂（x-1）|=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（x-1），}&{x＞2}\\{-lo{g}_{2}（x-1），}&{1＜x≤2}\end{array}\right.$，
则对应的图象为：
则函数的单调递减区间为（1，2]，
当1＜x≤2时，f（x）=-log₂（x-1），
证明：设1＜x₁＜x₂≤2，
则f（x₁）-f（x₂）=-log₂（x₁-1）-[-log₂（x₂-1）]=log₂（x₂-1）-log₂（x₁-1）=log₂$\frac{{x}_{2}-1}{{x}_{1}-1}$，
∵1＜x₁＜x₂≤2，
∴0＜x₁-1＜x₂-1≤1，
则$\frac{{x}_{2}-1}{{x}_{1}-1}$＞1，
∴log₂$\frac{{x}_{2}-1}{{x}_{1}-1}$＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
则函数为单调递减函数．

点评 本题主要考查函数图象作图以及函数单调区间的求解，结合对数函数的性质，利用定义法是解决本题的关键．