Question

（本小题满分15分）

已知：在数列{a_n}中，a₁＝ ，a_n+1＝ a_n＋．

（1）令b_n＝4n a_n，求证：数列{b_n}是等差数列；

（2）若S_n为数列{a_n}的前n项的和，S_n＋λna_n≥ 对任意n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

解：（1）

由a_n+1＝a_n＋，

得(4n+1) a_n+1＝4na_n＋2．  ………………………………………………………………1分

所以b_n+1＝b_n＋2，

即b_n+1－b_n＝2．…………………………………………………………………3分

故数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列．………………………………4分

（2）因为数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，所以b_n＝1＋2（n－1）＝2n－1．

因为b_n＝4n a_n，所以 a_n＝． ……………………………………………………6分

则S_n＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ．

又S_n＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ．

所以S_n＝＋2（ ＋ ＋ ＋…＋ ）－

                                           …………………………8分

＝＋2× －．

所以S_n＝ － × － × ．  …………………………10分

因为S_n＋λ_na_n≥对任意n∈N*恒成立，

所以 －× －×＋λ×≥对任意n∈N*恒成立．

即λ≥×＋对任意n∈N*恒成立．………………………………11分

因为n≥1，2n－1≥1，所以×≤，当且仅当n＝1时取等号．

又因为 ≤ ，当且仅当n＝1时取等号．

所以×＋≤ ，当且仅当n＝1时取等号．………………………14分

所以λ≥，所以λ的最小值为．…………………………………15分