Question

7．设正实数x，y满足x＞$\frac{1}{2}$，y＞1，不等式$\frac{4{x}^{2}}{y-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x-1}$≥m恒成立，则m的最大值为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 4$\sqrt{2}$
• C． 8
• D． 16

Answer 1

分析 不等式$\frac{4{x}^{2}}{y-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x-1}$≥m恒成立，转化为求$\frac{4{x}^{2}}{y-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x-1}$的最小值，可得m的最大值．将分母转化为整数，设y-1=b，则y=b+1，令2x-1=a，x=$\frac{1}{2}$（a+1），利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：设y-1=b，则y=b+1，令2x-1=a，x=$\frac{1}{2}$（a+1），a＞0，b＞0．
那么：$\frac{4{x}^{2}}{y-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x-1}$=$\frac{（b+1）^{2}}{a}+\frac{（a+1）^{2}}{b}≥2\frac{（a+1）（b+1）}{\sqrt{ab}}$=$\frac{ab+（a+b）+1}{\sqrt{ab}}=2（\frac{1}{\sqrt{ab}}+\sqrt{ab}+\frac{a+b}{\sqrt{ab}}）$$≥2（2\sqrt{\sqrt{ab}•\frac{1}{\sqrt{ab}}}+\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}）=2（2+2）=8$（当且仅当a=b=1即x=2，y=1时取等号．
∴$\frac{4{x}^{2}}{y-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x-1}$的最小值为8，
则m的最大值为8．
故选：C．

点评 本题考查了基本不等式的性质的运用解决恒成立的问题，利用了换元法转化求解，多次使用基本不等式式解决问题的关键，属于中档题．