Question

对任意的实数k，直线y=kx+1与椭圆

x2

4

+

y2

n

=1恒有两个交点，则n的取值范围

 

．

Answer 1

分析：求出直线所恒过定点，由题意知该定点必在椭圆内，从而得不等式，解出即可，注意椭圆方程的特征．

解答：解：直线y=kx+1恒过定点（0，1），
因为对任意的实数k，直线y=kx+1与椭圆

x2

4

+

y2

n

=1恒有两个交点，
所以点（0，1）在椭圆内，则

02

4

+

12

n

＜1，解得n＞1，
由椭圆方程知n≠4，
所以n的取值范围是（1，4）∪（4，+∞）．
故答案为（1，4）∪（4，+∞）

点评：本题考查椭圆方程、直线与椭圆的位置关系，属中档题．解决本题的关键找到直线所过定点，并正确判断定点与椭圆的位置关系．考查转化思想．