Question

13．已知$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}+m$，m是实常数，
（1）当m=1时，写出函数f（x）的值域；
（2）当m=0时，判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；
（3）若f（x）是奇函数，不等式f（f（x））+f（a）＜0有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当m=1时，结合指数函数的单调性即可写出函数f（x）的值域；
（2）当m=0时，根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；
（3）根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可．

解答 解：（1）当m=1时，$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}+1$，定义域为R，
${3^x}+1∈（{1，+∞}），\frac{2}{{{3^x}+1}}∈（{0，2}）$，$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}+1∈（{1，3}）$，
即函数的值域为（1，3）．…（3分）
（2）f（x）为非奇非偶函数．…（5分）
当m=0时，$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}，f（1）=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}，f（{-1}）=\frac{2}{{\frac{1}{3}+1}}=\frac{3}{2}$，
因为f（-1）≠f（1），所以f（x）不是偶函数；
又因为f（-1）≠-f（1），所以f（x）不是奇函数；
即f（x）为非奇非偶函数．…（8分）
（3）因为f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x）恒成立，即$\frac{2}{{{3^x}+1}}+m=-\frac{2}{{{3^x}+1}}-m$对x∈R恒成立，
化简整理得$-2m=\frac{{2×{3^x}}}{{1+{3^x}}}+\frac{2}{{{3^x}+1}}=2$，即m=-1．…（10分）
（若用特殊值计算m，须验证，否则，酌情扣分．）
下用定义法研究$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}-1$的单调性：
设任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{2}{{{3^{x_1}}+1}}-1-\frac{2}{{{3^{x_2}}+1}}+1$=$\frac{{2（{{3^{x_2}}-{3^{x_1}}}）}}{{（{{3^{x_1}}+1}）（{{3^{x_2}}+1}）}}＞0$，…（13分）
所以函数f（x）在R上单调递减．
因为f（f（x））+f（a）＜0有解，且函数为奇函数，
所以f（f（x））＜-f（a）=f（-a）有解，
又因为函数f（x）在R上单调递减，所以f（x）＞-a有解，即f_max（x）＞-a有解，
又因为函数$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}-1$的值域为（-1，1），
所以-a＜1，即a＞-1．…（16分）

点评 本题主要考查函数值域，奇偶性以及函数单调性的应用，根据函数奇偶性和单调性的定义和性质，