Question

（本题满分14分）
抛物线D以双曲线的焦点为焦点．
（1）求抛物线D的标准方程；
（2）过直线上的动点P作抛物线D的两条切线，切点为A，B．求证：直线AB过定点Q，并求出Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，若直线PQ交抛物线D于M，N两点，求证：|PM|·|QN|=|QM|·|PN|

Answer 1

（1）
（2）（1，1）
（3）证明见解析。

（1）由题意，
所以，抛物线D的标准方程为                                         …………3分
（2）设
由
抛物线D在点A处的切线方程为…………4分
而A点处的切线过点
即
同理，
可见，点A，B在直线上．
令
所以，直线AB过定点Q（1，1）                                                               …………6分
（3）设
直线PQ的方程为

由
得
由韦达定理，                     …………9分
而

…………12分
将代入方程（*）的左边，得
（*）的左边

=0．
因而有|PM|·|QN|=|QM|·|PN|．                                                    …………14分