Question

12．已知${（\root{4}{{\frac{1}{x}}}+2•\root{3}{x^2}）^n}$二项展开式中第三项的系数为180，求：
（Ⅰ）含x³的项；
（Ⅱ）二项式系数最大的项．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据第三项的系数为180求得n=10，再求出通项公式，在通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得含x³的项．
（Ⅱ）二项式系数最大的项为中间项，再利用通项公式求得结果．

解答 解：（Ⅰ）由题设知：第三项的系数为 ${2^2}C_n^2=180$，${C}_{n}^{2}$=45，求得n=10，
可得通项公式为 ${T_{r+1}}=C_{10}^r{（{x^{-\frac{1}{4}}}）^{10-r}}•{（2•{x^{\frac{2}{3}}}）^r}={2^r}C_{10}^r{x^{\frac{11r-30}{12}}}$，令$\frac{11r-30}{12}=3$，得r=6，
∴含x³的项为${T_7}={2^6}C_{10}^6{x^3}$．
（Ⅱ）二项式系数最大的项为中间项，即${T_6}={2^5}C_{10}^5{x^{\frac{55-30}{12}}}=8064{x^{\frac{25}{12}}}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．