Question

16．已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-lnx+2e^x，当g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上存在零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）=lnx-ax（a∈R）的导数，令导数大于0求出函数的增区间，令导数小于0，求出函数的减区间；
（Ⅱ）由2e^x-ax=0，令F（x）=$\frac{a}{2}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）函数的定义域是（0，+∞），
∵f（x）=lnx-ax，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域上是增函数；
当a＞0时，令导数为0解得x=$\frac{1}{a}$，
当x＞$\frac{1}{a}$时，导数为负，函数在（$\frac{1}{a}$，+∞）上是减函数，
当x＜$\frac{1}{a}$时，导数为正，函数在（0，$\frac{1}{a}$）上是增函数；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-lnx+2e^x=2e^x-ax=0
令F（x）=$\frac{a}{2}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$，则F′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$=0 可得x=1，
当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；
当x＜1时，F′（x）＜0，F（x）单调递减；
F（x）在x=1处取得最小值 F（1）=e，
 F（$\frac{1}{2}$）=2$\sqrt{e}$，F（2）=$\frac{{e}^{2}}{2}$，
∴a的取值范围是[2e，e²]．

点评 本题考查用导数研究函数的单调性，解题的键是理解并掌握函数的导数的符号与函数的单调性的关系，此类题一般有两类题型，一类是利用导数符号得出单调性，一类是由单调性得出导数的符号，本题属于第一种类型．本题的第二小问是关于函数的零点问题，本题中由于参数的存在，导致导数的符号不定，故需要对参数的取值范围进行讨论．