Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足a²+b²-c²-ab=0．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若

sinC

cosAsinB

=

2c

b

，且

AB

•

BC

=-8，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）根据题中的等式，利用余弦定理算出cosC=

1

2

，结合0＜C＜π，可得角C的大小；
（II）根据正弦定理，化简

sinC

cosAsinB

=

2c

b

得到cosA=

1

2

，从而得出A=

π

3

，结合三角形内角和定理算出B=

π

3

．再由

AB

•

BC

=-8解出ac=16，利用三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）∵a²+b²-c²-ab=0，可得a²+b²-c²=ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

ab

2ab

=

1

2

，
结合0＜C＜π，可得C=

π

3

；
（Ⅱ）∵

sinC

cosAsinB

=

2c

b

，
∴由正弦定理得

sinC

cosAsinB

=

2sinC

sinB

，解得cosA=

1

2

，结合0＜A＜π，得A=

π

3

．
∵△ABC中，C=

π

3

，∴B=π-（A+B）=

π

3

，
因此

AB

•

BC

=-accosB=-8，可得accos

π

3

=8，解得ac=16
∴△ABC的面积S=

1

2

acsinB=

1

2

×16×

3

2

=4

3

．

点评：本题给出三角形的边满足的关系式，求角C的大小，并在已知向量数量积的情况下求△ABC的面积．着重考查了正余弦定理、向量的数量积公式与三角形面积公式等知识，属于中档题．