Question

15．某工厂生产出的产品投放到某市12个大型超市，24个中型超市，72个小型超市中销售，为了了解销售情况，现采用分层抽样方法抽取9个超市进行凋查．
（1）求抽取的大型超市．中型超市，小型超市的个数；
（2）若从抽取的9个超市中随机抽取3个做进一步跟踪分析，记随机变量X为抽取的小型超市的个数，求随机变量X的分布列及数学期E（X）；
（3）根据调查结果，经过数据分析得到下面有关销售的统计规律：每生产该产品x（百件），其总成本为G（x）万元，其中固定成本为2万元．且每生产1百件的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．已知销售收入R（x）万元满足R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+4.2x-0.8，0≤x≤5}\\{10.2，x＞5}\end{array}\right.$，假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律，
①要使该工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围；
②该工厂生产多少件该产品盈利最大？此时每件产品的售价定为多少？

Answer 1

分析 （1）易得12：24：72=1：2：6，从而确定答案；
（2）分别求概率P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{2}•{C}_{6}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{3}{14}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}•{C}_{6}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{5}{21}$，从而求分布列及数学期望E（X）；
（3）由题意知G（x）=x+2，x≥0； ①从而由分段函数讨论以求范围；②①当0≤x≤5时，配方法化简R（x）-G（x）=-0.4（x-4）²+3.6，从而求最值．

解答 解：（1）∵12：24：72=1：2：6，
∴抽取大型超市1个，中型超市2个，小型超市6个；
（2）P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{2}•{C}_{6}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{3}{14}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}•{C}_{6}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{5}{21}$，
故随机变量X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{84}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{5}{21}$

数学期望E（X）=0×$\frac{1}{84}$+1×$\frac{3}{14}$+2×$\frac{15}{28}$+3×$\frac{5}{21}$=2；
（3）由题意知，G（x）=x+2，x≥0；
①当0≤x≤5时，
R（x）-G（x）=-0.4x²+4.2x-0.8-（x+2）＞0，
解得，1＜x≤5，
当x＞5时，
R（x）-G（x）=10.2-（x+2）＞0，
解得，5＜x＜8.2，
综上所述，
要使该工厂有盈利，产品数量x应控制在（1，8.2）内；
②①当0≤x≤5时，
R（x）-G（x）=-0.4x²+4.2x-0.8-（x+2）
=-0.4（x-4）²+3.6，
故x=4时，有最大值3.6；
当x＞5时，
R（x）-G（x）=10.2-（x+2）
=-x+8.2＜3.2，
故该工厂生产400件该产品盈利最大，
此时每件产品的售价定为$\frac{3.6+4+2}{400}$=0.024万元=240元．

点评 本题考查了分布列的求法及数学期望的求法，同时考查了分类讨论的思想应用及分段函数的应用．