Question

4．已知函数f（x）=cos²$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$，若f（α）=$\frac{3\sqrt{2}}{10}$，求sin2α的值．

Answer 1

分析 利用倍角公式化简已知可得f（x）=$\frac{1}{2}$（cosx-sinx），可得cosα-sinα=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，两边平方利用倍角公式即可得解．

解答 解：∵f（x）=cos²$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1+cosx}{2}-\frac{1}{2}sinx-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（cosx-sinx），
∴f（α）=$\frac{1}{2}$（cosα-sinα）=$\frac{3\sqrt{2}}{10}$，可得：cosα-sinα=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
∴两边平方可得：1-sin2α=$\frac{18}{25}$，
∴解得：sin2α=$\frac{7}{25}$．

点评 本题主要考查了二倍角的正弦公式，余弦函数公式的应用，属于基础题．