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【题目】椭圆规是用来画椭圆的一种器械,它的构造如图所示,在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽,在直尺上有两个固定的滑块AB,它们可分别在纵槽和横槽中滑动,在直尺上的点M处用套管装上铅笔,使直尺转动一周,则点M的轨迹C是一个椭圆,其中|MA|2|MB|1,如图,以两条导槽的交点为原点O,横槽所在直线为x轴,建立直角坐标系.

1)将以射线Bx为始边,射线BM为终边的角xBM记为φ0≤φ),用表示点M的坐标,并求出C的普通方程;

2)已知过C的左焦点F,且倾斜角为α0≤α)的直线l1C交于DE两点,过点F且垂直于l1的直线l2C交于GH两点.|GH|依次成等差数列时,求直线l2的普通方程.

【答案】1;(2

【解析】

1)用三角函数表示出点M的坐标,直接利用转换关系把极坐标方程转换为直角坐标方程;(2)设出直线l1的参数方程,与椭圆方程联立利用直线参数的几何意义求出,根据题意有,列出方程求出直线l1的斜率即可求得直线l2的方程.

1)设Mxy)依题意得:x2cosφysinφ

所以M2cosφsinφ),

由于cos2φ+sin2φ1,整理得.

2)由于直线l1的倾斜角为α),且l1l2

所以直线l2的倾斜角为,依题意易知:F),

可设直线l1的方程为t为参数),

代入得到:

易知

设点D和点E对应的参数为t1t2

所以.

由参数的几何意义:

GH对应的参数为t3t4,同理对于直线l2,将α换为

所以

由于|GH|依次成等差数列,

所以,则,解得

所以,又,所以

所以直线l2的斜率为,直线l2的直角坐标方程为x.

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