Question

已知数列{b_n}，b_n=2-

1

bn-1

（n≥2，n∈N^*），数列{a_n}满足a_n=

1

bn-1

．
（1）证明：数列{a_n}是等差数列；
（2）若a₁=-

7

2

，求数列{b_n}中的最大项和最小项的值；
（3）若数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n≥S₆（n∈N^*），求a₁的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）直接利用等差数列的定义作差，然后用a_n=

1

bn-1

，b_n=2-

1

bn-1

替换后整理得答案；
（2）构造函数f（x）=1+

1

x- 9 2

，分析可知函数在（0，

9

2

）和（

9

2

，+∞）上为减函数，由此判断出数列{a_n}的单调性，从而得到数列{b_n}中的最大项和最小项的值；
（3）由

S7≥S6 S5≥S6

解得a₁的取值范围，验证后得答案．

解答： （1）证明：∵an-an-1=

1

bn-1

-

1

bn-1-1

=

1

2bn-1-1 bn-1

-

1

bn-1-1

=

bn-1

bn-1-1

-

1

bn-1-1

=1，
∴数列{a_n}是等差数列；
（2）解：∵a₁=-

7

2

，
∴an=-

7

2

+n-1=n-

9

2

，
bn=1+

1

n- 9 2

．
函数f（x）=1+

1

x- 9 2

在（0，

9

2

）和（

9

2

，+∞）上为减函数，
故a₅＞a₆＞a₇＞…＞a_n＞…＞a₁＞a₂＞a₃＞a₄，
数列{b_n}中的最大项为a₅=3，最小项为a₄=-1；
（3）解：由

S7≥S6 S5≥S6

，解得-6≤a₁≤-5．
经检验得-6≤a₁≤-5时，若n≤6，则a_n≤0，若n≥7，则a_n≥0．
故S₆最小．
故所求a₁的取值范围是-6≤a₁≤-5．

点评：本题考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，解答此题的关键是分析出数列{a_n}的单调性，是中档题．