Question

4．已知等比数列{a_n）满足a_n+1+a_n=3•2^n-1，n∈N*，设数列{a_n}的前n项和为S_n，若不等式S_n＞ka_n-2对一切n∈N*恒成立，则实数k的取值范围为（-∞，$\frac{5}{3}$）．

Answer 1

分析 根据等比数列的定义推知公比q=2，然后由等比数列的通项公式得到a_n=3•2^n-1，n∈N^*．进而根据等比数列的前n项和公式求得S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{3（1-2n）}{1-2}$=3（2ⁿ-1）；最后由不等式的性质和函数的单调性来求k的取值范围即可．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a_n+1+a_n=3•2^n-1，n∈N^*，
∴a₂+a₁=3，a₃+a₂=6，
∴q=$\frac{{a}_{3}+{a}_{2}}{{a}_{2}+{a}_{1}}$=$\frac{6}{3}$=2，
∴2a₁+a₁=3，
∴a₁=1．
∴a_n=2^n-1，n∈N^*．
则S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{3（1-2n）}{1-2}$=3（2ⁿ-1），
∴3（2ⁿ-1）＞k•3•2^n-1-2，
∴k＜2-$\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$．
令f（n）=2-$\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$，则f（n）随n的增大而增大，
∴f（n）_min=f（1）=2-$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴k＜$\frac{5}{3}$．
∴实数k的取值范围为（-∞，$\frac{5}{3}$）．
故答案是：（-∞，$\frac{5}{3}$）．

点评 本题考查了数列与不等式的综合．根据已知等式a_n+1+a_n=3•2^n-1和等比数列的定义以及等比数列的前n项和公式推知a_n=3•2^n-1，n∈N^*．S_n=3（2ⁿ-1）是解题的关键，考查计算能力．