Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，过对角线BD₁的平面分别交AA₁，CC₁于点E，F．
（1）证明：截面BED₁F把正方体分成体积相等的两部分；
（2）若截面BED₁F与底面ABCD所成二面角的余弦值为

6

3

，求直线BD与平面BED₁F所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由正方体的结构特征，结合已知中过BD₁的平面分别交棱AA₁和棱CC₁于E、F两点，根据面面平行的性质定理，可得D₁E∥BF，BE∥D₁F，即四边形EBFD₁为平行四边形，进而由HL可证得Rt△A₁D₁E≌Rt△CB，由全等三角形的性质可得A₁E=CF，AE=CF，由此能证明截面BED₁F把正方体分成体积相等的两部分．
（2）以DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BD与平面BED₁F所成角的正弦值．

解答： （1）证明：由题知，平面EBFD₁与平面BCC₁B₁交于BF、与平面ADD₁A交于ED₁，
又平面BCC₁B₁∥平面ADD₁A₁
∴D₁E∥BF，同理BE∥D₁F，
∴四边形EBFD₁为平行四边形
∴D₁E=BF，
∵A₁D₁=CB，D₁E=BF，
∠D₁A₁E=∠BCF=90°
∴Rt△A₁D₁E≌Rt△CBF
∴A₁E=CF，AE=CF，
∴截面BED₁F把正方体分成体积相等的两部分．
（2）解：以DA为x轴，DC为y轴，
DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设AE=t，则CF=1-t（0≤t≤1），
B（1，1，0），D₁（0，0，1），E（1，0，t），

BD1

=（-1，-1，1），

BE

=（0，-1，t），
设平面BED₁F的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • BD1 =-x-y+z=0 n • BE =-y+tz=0

，取y=1，得

n

=（

1

t

-1，1，

1

t

），
平面ABCD的法向量

m

=（0，0，1），
∵截面BED₁F与底面ABCD所成二面角的余弦值为

6

3

，
∴|cos＜

m

，

n

＞|=|

1 t

( 1 t -1)2+1+ 1 t2

|=

6

3

，
解得t=

1

2

，平面BED₁F的法向量

n

=（1，1，2），

BD

=（-1，-1，0），
设直线BD与平面BED₁F所成角为θ，
sinθ=|cos＜

n

，

BD

＞|=|

-1-1

6 × 2

|=

3

3

，
∴直线BD与平面BED₁F所成角的正弦值为

3

3

．

点评：本题考查截面BED₁F把正方体分成体积相等的两部分的证明，考查直线BD与平面BED₁F所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．