Question

若关于x的方程asinx•cosx+sin²x-3=0在x∈[

π

4

，

π

3

]恒有解，则实数a的取值范围是（　　）

• A．[2

  6

  ，3

  3

  ]
• B．[2

  6

  ，5]
• C．[5，3

  3

  ]
• D．[3

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：通过化简方程为a的表达式，利用x的范围，通过基本不等式以及函数的单调性求出函数的最值，求出a的取值范围．

解答：解：关于x的方程asinx•cosx+sin²x-3=0，
化为a=

3-sin2x

sinxcosx

=2tanx+

3

tanx

，因为x∈[

π

4

，

π

3

]，
所以a≥2

2tanx• 3 tanx

=2

6

，当且仅当tanx=

3 2

2

时a取得最小值，
当x=

π

3

时，a=3

3

，x=

π

4

时，a=5，又3

3

＞5，
所以a∈[2

6

，3

3

]，此时方程在x∈[

π

4

，

π

3

]时方程恒有解．
故选 A．

点评：本题考查函数与方程的综合应用，函数的最值的求法，转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．