Question

(1)求右焦点坐标是(2,0),且经过点(－2,－)的椭圆C的标准  方程；
(2)对(1)中的椭圆C,设斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点,AB的中点为M,证明:当直线l平行移动时,动点M在一条过原点的定直线上；
(3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作图步骤,并在图中标出椭圆的中心.

Answer 1

(1) 椭圆的标准方程为+=1.

(1)由题中条件,设椭圆的标准方程为+=1,a＞b＞0,
∵右焦点为(2,0),∴a²=b²+4,
即椭圆的方程为+=1.
∵点(－2,－)在椭圆上,∴+=1.
解得b²=4或b²=－2(舍),
由此得a²=8,即椭圆的标准方程为+=1.
(2)设直线l的方程为y=x+m,与椭圆C的交点为A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),
则由得12x²+16mx+8m²－32=0,
即3x²+4mx+2m²－8=0.
∵Δ＞0,∴m²＜12,即－2＜m＜2.
则x₁+x₂=－,y₁+y₂=x₁+m+x₂+m=m,
∴AB中点M的坐标为(－m,).
∴线段AB的中点M在过原点的直线x+2y=0上.
(3)如下图,作两条平行直线分别交椭圆于点A、B和点C、D,并分别取AB、CD的中点M、N,连结直线MN；又作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于点A₁、B₁和点C₁、D₁,并分别取A₁B₁、C₁D₁的中点M₁、N₁,连结直线M₁N₁,那么直线MN和M₁N₁的交点O即为椭圆中心 .