Question

已知向量

m

=（sinx，-1），

n

=（

3

cosx，-

1

2

），函数f（x）=

m

2+

m

•

n

-2．
（1）求f（x）的最大值，并求取最大值时x的取值集合；
（2）已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且b²=ac，B为锐角，且f（B）=1，求

1

tanA

+

1

tanC

的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,同角三角函数基本关系的运用,正弦定理

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）根据向量的数量积运算，先化简f（x）=sin（2x-

π

6

），再根据三角形函数的图象和性质，问题得以解决；
（2）先求出B的大小，再根据正弦定理或余弦定理，即可求出

1

tanA

+

1

tanC

的值．

解答： 解：（1）f(x)=(

m

+

n

)•

m

-2
=sin2x+1+

3

sinxcosx+

1

2

-2
=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)．
故f（x）_max=1，
此时2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，得x=kπ+

π

3

，k∈Z，
∴取最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+

π

3

，k∈Z}．   
（2）f(B)=sin(2B-

π

6

)=1，
∵0＜B＜

π

2

，
∴-

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

，
∴2B-

π

6

=

π

2

，B=

π

3

，
（法一）由b²=ac及正弦定理得sin²B=sinAsinC得：

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sinCcosA+cosCsinA

sinAsinC

=

sin(A+C)

sin2B

=

1

sinB

=

2 3

3

．           
（法二）由b²=ac及余弦定理得：ac=a²+c²-ac即a=c，
∴△ABC为正三角形，
∴

1

tanA

+

1

tanC

=

1

3

+

1

3

=

2 3

3

．

点评：本题考查向量的数量积的运算以及三角函数的化简和求值，正弦定理和余弦定理，属于中档题