Question

3．已知函数f（x）=x²+$\frac{2}{bx+1}$+a是偶函数．
（1）若在定义域上f（x）≥ax恒成立，求实数a的取值范围；
（2）已知函数g（x）=f（x）+2mx+2m-a-1，若方程g（x）=0在（-1，2）上有且只有一正实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接根据偶函数的定义得出：$\frac{2}{-bx+1}$=$\frac{2}{bx+1}$恒成立，再运用判别式求a的取值范围；
（2）先分离参数m得，-2m=[（x+1）+$\frac{2}{x+1}$-2]，x∈（-1，2），再结合双勾函数的图象，得出m的取值范围．

解答 解：（1）因为f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x），
即x²+$\frac{2}{-bx+1}$+a=x²+$\frac{2}{bx+1}$+a，
所以，$\frac{2}{-bx+1}$=$\frac{2}{bx+1}$，
即-bx+1=bx+1对任意实数x恒成立，
所以，b=0，则f（x）=x²+a+2，
不等式f（x）≥ax可写成，x²-ax+a+2≥0恒成立，
所以，△=a²-4a-8≤0，解得，a∈[2-2$\sqrt{3}$，2+2$\sqrt{3}$]，
即实数a的取值范围为：[2-2$\sqrt{3}$，2+2$\sqrt{3}$]；
（2）由（1）得，g（x）=x²+2mx+2m+1，
因为，x∈（-1，2），所以，x+1∈（0，3），
则令g（x）=0并分离参数m得，
-2m=$\frac{x^2+1}{x+1}$=$\frac{（x+1）^2-2（x+1）+2}{x+1}$
=（x+1）+$\frac{2}{x+1}$-2，x∈（-1，2），
记g（x）=（x+1）+$\frac{2}{x+1}$-2，图象如右图，
要使方程：-2m=g（x）在（-1，2）上有且只有一正实数根，
则-2m∈[g（1），g（2））∪{g（$\sqrt{2}$-1）}，
即-2m∈[1，$\frac{5}{3}$）∪{2$\sqrt{2}$-2}，
解得，m∈（-$\frac{5}{6}$，-$\frac{1}{2}$]∪{1-$\sqrt{2}$}，
故实数m的取值范围为：（-$\frac{5}{6}$，-$\frac{1}{2}$]∪{1-$\sqrt{2}$}．

点评 本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题和方程有解问题的解法，考查了二次函数的图象和性质，属于中档题．