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如图展示了一个由区间(0,4)到实数集R的映射过程:区间(0,4)中的实数m对应数轴上的点M(如图),将线段AB围成一个正方形,使两端点A、B恰好重合(如图),再将这个正方形放在平面直角坐标系中,使其中两个顶点在y轴上,点A的坐标为(0,4)(如图),若图中直线AM与x轴交于点N(n,0),则m的象就是n,记作f(m)=n.现给出以下命题:
①f(2)=0;
②f(x)的图象关于点(2,0)对称;
③f(x)在(3,4)上为常数函数;④f(x)为偶函数.
其中正确命题的个数有( )

A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】分析:本题利用直接法和排除法解决.由题意知,①可直接求解其函数值进行判断;函数f(x)的定义域为(0,4),不关于原点对称,函数f(x)是非奇非偶函数,故④错.当x从3→4变化时,点N始终在正方形的一条边的延长线上,其对应的坐标值不变,所以③正确.对于②,由于当m=2时对应的正方形的点在y轴,可从运动的角度进行分析.
解答:解:由题意知,f(2)=0,故①对;
又∵函数f(x)的定义域为(0,4),不关于原点对称,∴函数f(x)是非奇非偶函数,故④错.
当x从3→4变化时,点N始终在正方形的一条边的延长线上,其对应的坐标值不变,故f(x)在(3,4)上为常数函数,所以③正确.
对于②,由于当m=2时对应的正方形的点在y轴,所以f(x)的图象关于点(2,0)对称,故②正确.
故选C.
点评:本题主要考查了映射和函数的概念及其构成要素,具有一定的新意,关于新定义型的题,关键是理解定义,并会用定义来解题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

10、如图展示了一个由区间(0,4)到实数集R的映射过程:区间(0,4)中的实数m对应数轴上的点M(如图),将线段AB围成一个正方形,使两端点A、B恰好重合(如图),再将这个正方形放在平面直角坐标系中,使其中两个顶点在y轴上,点A的坐标为(0,4)(如图),若图中直线AM与x轴交于点N(n,0),则m的象就是n,记作f(m)=n.现给出以下命题:
①f(2)=0;
②f(x)的图象关于点(2,0)对称;
③f(x)在(3,4)上为常数函数;④f(x)为偶函数.
其中正确命题的个数有(  )

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如图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程:区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M,如图1;将线段AB围成一个圆,使两端点A,B恰好重合,如图2;再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在y轴上,点A的坐标为(0,1),如图3.图3中直线AM与x轴交于点N(n,0),则m的像就是n,记作f(m)=n.则在下列说法中正确命题的个数为(  )
①f(
1
4
)=1;②f(x)为奇函数;③f(x)在其定义域内单调递增;④f(x)的图象关于点(
1
2
,0
)对称.

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(2011•上海模拟)如图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的对应过程:区间(0,1)中的实数m对应数轴上(线段AB)的点M(如图1);将线段AB围成一个圆,使两端点A、B恰好重合(如图2);再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在y轴上;点A的坐标为(0,1)(如图3),当点M从A到B是逆时针运动时,图3中直线AM与x轴交于点N(n,0),按此对应法则确定的函数使得m与n对应,即
f(m)=n.

对于这个函数y=f(x),有下列命题:
f(
1
4
)=-1
;  ②f(x)的图象关于(
1
2
,0)
对称;  ③若f(x)=
3
,则x=
5
6
;  ④f(x)在(0,1)上单调递增.
其中正确的命题个数是(  )

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(2011•资阳一模)如图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程:区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M,如图①;将线段AB围成一个圆,使两端点A、B恰好重合,如图②;再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在y轴上,点A的坐标为(0,1),在图形变化过程中,图①中线段AM的长度对应于图③中的弧ADM的长度,如图③.图③中直线AM与x轴交于点N(n,0),则m的象就是n,记作f(m)=n.

给出下列命题:
①f(
1
4
)=1;
②f(x)是奇函数;
③f(x)在定义域上单调递增;
④f(x)的图象关于点(
1
2
,0)对称. 
则所有真命题的序号是
③④
③④
.(填出所有真命题的序号)

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(2013•怀化二模)如图展示了一个由区间(0,k)(其中k为一正实数)到实数集R上的映射过程:区间(0,k)中的实数m对应线段AB上的点M,如图1;将线段AB围成一个离心率为
3
2
的椭圆,使两端点A、B恰好重合于椭圆的一个短轴端点,如图2;再将这个椭圆放在平面直角坐标系中,使其中心在坐标原点,长轴在x轴上,已知此时点A的坐标为(0,1),如图3,在图形变化过程中,图1中线段AM的长度对应于图3中的椭圆弧ADM的长度.图3中直线AM与直线y=-2交于点N(n,-2),则与实数m对应的实数就是n,记作f(m)=n,

现给出下列5个命题①f(
k
2
)=6
;②函数f(m)是奇函数;③函数f(m)在(0,k)上单调递增;④函数f(m)的图象关于点(
k
2
,0)
对称;⑤函数f(m)=3
3
时AM过椭圆的右焦点.其中所有的真命题是(  )

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