Question

已知圆x²+y²-6mx-2（m-1）y+10m²-2m-24=0，直线l₁：x-3y-3=0
（1）求证：不论m取何值，圆心必在直线l₁上；
（2）与l₁平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离．

Answer 1

解：（1）圆x²+y²-6mx-2（m-1）y+10m²-2m-24=0，
配方得（x-3m）²+[y-（m-1）]²=25，…（2分）
∴圆心为（3m，m-1），半径为 5．…（3分）
∵3m-3（m-1）-3=0，∴不论m取何值，圆心必在直线l₁：x-3y-3=0上．…（5分）
（2）设与直线l₁平行的直线l₂：x-3y+b=0（b≠-3），…（6分）
则圆心到直线l₂的距离为．…（8分）
∴当d＜r，即，且b≠-3时，直线与圆相交；
当d=r，即，或时，直线与圆相切；
当d＞r，即，或时，直线与圆相离．…（14分）
分析：（1）把圆的方程化为标准方程求出圆心和半径，经检验，圆心必在直线l₁：x-3y-3=0上．
（2）设出与直线l₁平行的直线l₂的方程，求出圆心到直线l₂的距离，当d＜r时，直线和圆相交，当d=r，直线和圆相切，
当d＞r，直线与圆相离．
点评：本题主要考查圆的标准方程的特征，直线和圆的位置关系的判断方法，属于中档题．