【题目】已知函数f(x)=x2+4ax+2a+6.
(1)若函数f(x)=log2 f(x)的最小值为2,求a的值;
(2)若对任意x∈R,都有f(x)≥0成立,求函数g(a)=2﹣a|a+3|的值域.
【答案】
(1)解:函数f(x)=log2f(x)的最小值为2,即f(x)的最小值为4;
∵f(x)=x2+4ax+2a+6=(x+2a)2+2a+6﹣4a2≥4;
∴2a+6﹣4a2=4a=1 或 a=
(2)解:∵函数f(x)≥0恒成立,
∴△=16a2﹣4(2a+6)≤0,计算得出:﹣1 ;
∴g(a)=2﹣a|a+3|=2﹣a(a+3)=﹣(a+ )2+ ;
∵g(a)在区间[﹣1, ]单调递减;
∴g(a)min=g( )=﹣ ,g(a)max=g(﹣1)=4.
∴函数g(a)的值域为[﹣ ,4]
【解析】(1)因为函数f(x)=log2 f(x)的最小值为2,即f(x)的最小值为4;关键在于2a+6﹣4a2=4.(2)函数f(x)≥0恒成立,所以△≤0;同时可得g(a)在区间[﹣1, ]单调递减,即可求出g(a)的值域.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识,掌握当时,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增;当时,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减.
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【题目】小型风力发电项目投资较少,开发前景广阔.受风力自然资源影响,项目投资存在一定风险.根据测算,IEC(国际电工委员会)风能风区的分类标准如下:
风能分类 | 一类风区 | 二类风区 |
平均风速m/s | 8.5---10 | 6.5---8.5 |
某公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目.调研结果是:未来一年内,位于一类风区的A项目获利%的可能性为0.6,亏损%的可能性为0.4;
B项目位于二类风区,获利35%的可能性为0.6,亏损10%的可能性是0.2,不赔不赚的可能性是0.2.
假设投资A项目的资金为()万元,投资B项目资金为()万元,且公司要求对A项目的投资不得低于B项目.
(Ⅰ)记投资A,B项目的利润分别为和,试写出随机变量与的分布列和期望, ;
(Ⅱ)根据以上的条件和市场调研,试估计一年后两个项目的平均利润之和 的最大值,并据此给出公司分配投资金额建议.
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【题目】已知半径为2,圆心在直线y=x+2上的圆C.
(1)当圆C经过点A(2,2)且与y轴相切时,求圆C的方程;
(2)已知E(1,1),F(1,3),若圆C上存在点Q,使|QF|2﹣|QE|2=32,求圆心横坐标a的取值范围.
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【题目】今年入秋以来,某市多有雾霾天气,空气污染较为严重.市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现,每一天中空气污染指数与f(x)时刻x(时)的函数关系为f(x)=|log25(x+1)﹣a|+2a+1,x∈[0,24],其中a为空气治理调节参数,且a∈(0,1).
(1)若a= ,求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低;
(2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的空气污染指数,要使该市每天的空气污染指数不超过3,则调节参数a应控制在什么范围内?
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【题目】第96届(春季)全国糖酒商品交易会于2017年3月23日至25日在四川举办.展馆附近一家川菜特色餐厅为了研究参会人数与本店所需原材料数量的关系,在交易会前查阅了最近5次交易会的参会人数(万人)与餐厅所用原材料数量(袋),得到如下数据:
(Ⅰ)请根据所给五组数据,求出关于的线性回归方程;
(Ⅱ)若该店现有原材料12袋,据悉本次交易会大约有13万人参加,为了保证原材料能够满足需要,则该店应至少再补充原材料多少袋?
(参考公式: , )
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【题目】某小区提倡低碳生活,环保出行,在小区提供自行车出租.该小区有40辆自行车供小区住户租赁使用,管理这些自行车的费用是每日92元,根据经验,若每辆自行车的日租金不超过5元,则自行车可以全部出租,若超过5元,则每超过1元,租不出的自行车就增加2辆,为了便于结算,每辆自行车的日租金x元只取整数,用f(x)元表示出租自行车的日纯收入(日纯收入=一日出租自行车的总收入﹣管理费用)
(1)求函数f(x)的解析式及其定义域;
(2)当租金定为多少时,才能使一天的纯收入最大?
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