Question

16．若a＞b＞c＞d＞0且a+d=b+c=t，求证：$\sqrt{d}$+$\sqrt{a}$＜$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$．

Answer 1

分析 利用分析法进行证明，要证原不等式成立，只要证ad＜bc，由d=b+c-a，代入分解因式，即可证得．

解答 证明：要证明$\sqrt{d}$+$\sqrt{a}$＜$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$，
只需证明d+a+2$\sqrt{ad}$＜b+c+2$\sqrt{bc}$，
∵a+d=b+c，
只需证明2$\sqrt{ad}$＜2$\sqrt{bc}$，
只需证明ad＜bc，
只需证明a（b+c-a）＜bc，
只需证明ab-a²+ac-bc＜0，
只需证明（a-b）（c-a）＜0，
∵a＞b＞c，∴a-b＞0，c-a＜0，
∴（a-b）（c-a）＜0，
综上，$\sqrt{d}$+$\sqrt{a}$＜$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查分析法的运用，属于中档题．