Question

17．在△ABC中，已知$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$若cosA=$\frac{4}{5}$，则tanB=-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 设△ABC的三边分别是a，b，c，运用向量数量积的定义和正弦定理，结合同角的平方关系和商数关系，化简即可得到所求值．

解答 解：设△ABC的三边分别是a，b，c，
由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$，可得
cbcosA=-2cacosB，
由正弦定理可得，sinBcosA=-2sinAcosB，
则tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=-$\frac{2sinA}{cosA}$=-2tanA，
由cosA=$\frac{4}{5}$，可得sinA=$\sqrt{1-\frac{16}{25}}$=$\frac{3}{5}$，
则tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{3}{4}$，
即有tanB=-$\frac{3}{2}$．
故答案为：-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查向量的数量积的定义和正弦定理的运用，考查三角函数的化简和求值，属于中档题．