Question

【题目】如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的一个焦点为（ ，0），（1， ）是椭圆上的一个点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的上、下顶点分别为A，B，P（x0 ， y0）（x0≠0）是椭圆上异于A，B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ中点，直线AM交直线l：y=﹣1于点C，N为线段BC的中点，如果△MON的面积为 ，求y0的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆方程为 ，由题意，得 ．

因为a2﹣c2=b2，所以b2=a2﹣3．

又 是椭圆上的一个点，所以 ，解得a2=4或 （舍去），

从而椭圆的标准方程为

（2）解：因为P（x0，y0），x0≠0，则Q（0，y0），且 ．

因为M为线段PQ中点，所以 ．

又A（0，1），所以直线AM的方程为 ．

因为x0≠0，∴y0≠1，令y=﹣1，得 ．

又B（0，﹣1），N为线段BC的中点，有 ．

所以 ．

因此，

= ．从而OM⊥MN．

因为 ， ，

所以在Rt△MON中， ，因此 ．

从而有 ，解得

【解析】（1）确定 ，利用 是椭圆上的一个点，代入求出a，即可求椭圆的标准方程；（2）求出M，N的坐标，利用平面向量的数量积判断OM⊥MN，利用△MON的面积为 ，建立方程，即可求y0的值．