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20.已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合,且一条渐近线方程为4x+3y=0.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若双曲线上有一点P使得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0(F1,F2为双曲线的左,右焦点),求点P的纵坐标.

分析 (1)先由双曲线的渐近线可知$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$,再由抛物线y2=20x的焦点为(5,0)可得双曲线中c=5,最后根据双曲线的性质c2=a2+b2列方程组,解得a2、b2即可.
(2)令PF1=p,PF2=q,由勾股定理得p2+q2=|F1F2|2,求得p2+q2的值,由双曲线定义:|p-q|=2a两边平方,把p2+q2代入即可求得pq即|PF1|•|PF2|的值,利用等面积法可求点P的纵坐标.

解答 解:(1)由双曲线渐近线方程可知$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$①
因为抛物线的焦点为(5,0),所以c=5②
又c2=a2+b2
联立①②③,解得a2=9,b2=16,
所以双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1.
(2)令PF1=p,PF2=q,
由双曲线定义:|p-q|=2a=6,
平方得:p2-2pq+q2=36,
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0,∠F1PF2=90°,由勾股定理得:p2+q2=|F1F2|2=100,
所以pq=32,
即|PF1|•|PF2|=32,
设点P的纵坐标为y,则$\frac{1}{2}×10×|y|$=$\frac{1}{2}×32$,∴y=±$\frac{16}{5}$.

点评 本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程及几何性质,考查双曲线的定义,属于中档题.

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