Question

14．已知函数f（x）=x²+2ax+1．
（1）求f（x）在区间[-1，2]的最小值g（a）；
（2）求f（x）在区间[-1，2]的值域．

Answer 1

分析 （1）先配方，再分类讨论，即可求f（x）在区间[-1，2]的最小值g（a）；
（2）分类讨论，求出f（x）在区间[-1，2]的最大值，最小值，即可求f（x）在区间[-1，2]的值域．

解答 解：（1）f（x）=x²+2ax+1=（x+a）²-a²+1．
∴a＜-1时，g（a）=2-2a；-1≤a≤2时，g（a）=-a²+1；a＞2时，g（a）=5+2a，
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{2-2a，a＜-1}\\{-{a}^{2}+1，-1≤a≤2}\\{5+2a，a＞2}\end{array}\right.$；
（3）a＜-1时，f（-1）=2-2a，f（2）=5+2a，∴f（x）在区间[-1，2]的值域是[2-2a，5+2a]；
-1≤a≤0.5时，f（x）在区间[-1，2]的值域是[-a²+1，5+2a]；
0.5＜a≤2时，f（x）在区间[-1，2]的值域是[-a²+1，2-2a]；
a＞2时，f（-1）=2-2a，f（2）=5+2a，∴f（x）在区间[-1，2]的值域是[5+2a，2-2a]．

点评 本题考查二次函数的性质，考查分类讨论的数学思想，正确分类讨论是关键．