Question

已知函数f(x)=(m2-3)x

m+10

4

是幂函数，且图象关于y轴对称．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，求f^-1（x）并讨论其单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由给出的函数是幂函数，则系数等于1，由系数等于1求出m的值，代入原函数后需保证函数为偶函数，否则舍掉；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出函数的解析式，求出定义域后，再把x用含有y的代数式表示，则可求得函数的反函数，然后利用函数的单调性定义证明．

解答：解：（Ⅰ）因为f(x)=(m2-3)x

m+10

4

是幂函数，
则m²-3=1，解得：m=±2．
当m=2时，f（x）=x³，图象不关于y轴对称，舍去；
当m=-2时，f（x）=x²，满足f（x）的图象关于y轴对称，
所以所求的函数解析式为f（x）=x²．
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，由y=x²，得y≥0．
又由y=x²，得：x=

y

，
∴f-1(x)=

x

(x≥0)．
函数f-1(x)=

x

在[0，+∞）上是增函数．
事实上，在[0，+∞）任取两个实数x₁、x₂，且x₁＜x₂，
则f-1(x1)-f-1(x2)=

x1

-

x2

= ( x1 - x2 )( x1 + x2 ) x1 + x2 = x1-x2 x1 + x2 ，

∵0≤x₁＜x₂，∴x1-x2＜0，

x1

+

x2

＞0．
∴f-1(x1)-f-1(x2)＜0．即f-1(x1)＜f-1(x2)．
故f-1(x)=

x

在[0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了幂函数的定义，需要注意的是，只有y=x^α型的函数才是幂函数，考查了函数的奇偶性，训练了函数反函数的求法及利用定义证明函数单调性，此题是中档题．