Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n＝2n²，{b_n}为等比数列，且a₁＝b₁，b₁(a₂－a₁)＝b₂.
(1)求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
(2)设c_n＝a_n b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n.

Answer 1

（1）a_n＝4n－2，b_n＝b₁q^n－1＝2.4^n－1
（2）T_n＝[(6n－5)4ⁿ＋5]

试题分析：解析：　(1)当n≥2时，
a_n＝S_n－S_n－1＝2n²－2(n－1)²＝4n－2，
当n＝1时，a₁＝S₁＝2满足上式，
故{a_n}的通项式为a_n＝4n－2.                         -2分
设{b_n}的公比为q，由已知条件b₁(a₂－a₁)＝b₂知，b₁＝2，b₂＝8，所以q＝4，
∴b_n＝b₁q^n－1＝2.4^n－1                               5分
(2)∵c_n＝(2n－1)4^n－1，
∴T_n＝c₁＋c₂＋…＋c_n＝[1＋3×4¹＋5×4²＋…＋(2n－1)4^n－1]．
4T_n＝[1×4＋3×4²＋5×4²＋…＋(2n－3)4^n－1＋(2n－1)4ⁿ]．
两式相减得：
3T_n＝－1－2(4¹＋4²＋4³＋…＋4^n－1)＋(2n－1)4ⁿ
＝[(6n－5)4ⁿ＋5]．
∴T_n＝[(6n－5)4ⁿ＋5].                           12分
点评：主要是考查了等差数列和等比数列的通项公式以及数列的求和 综合运用，属于中档题。