Question

【题目】已知函数，，，，给出以下四个命题：（1）是偶函数；（2）是偶函数；（3）的最小值为；（4）有两个零点；其中真命题的是______.

Answer 1

【答案】（1）（3）（4）

【解析】

利用函数奇偶性的定义可判断（1）、（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数的最小值，可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数的零点个数，可判断（4）的正误.综合可得出结论.

对于命题（1），对于函数，，即，解得或，

所以，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

，则，

所以，函数为偶函数，命题（1）正确；

对于命题（2），对于函数，，

，令，得，且函数的定义域为，

当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增.

所以，，则函数的定义域为，定义域不关于原点对称，

所以，函数是非奇非偶函数，命题（2）错误；

对于命题（3），对于函数，，

由（2）知，函数的最小值为，则函数的最小值为，命题（3）正确；

对于命题（4），令，可得，则或，

由（2）知，，所以方程无解；

令，

由（2）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，

，，，

由零点存在定理可知，函数在区间和上各有一个零点，

所以，方程有两个实根，即函数有两个零点，命题（4）正确.

故答案为：（1）（3）（4）.