Question

（2010•陕西一模）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分．）
A．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，两点A(3，

π

3

)，B(4，

2π

3

)间的距离是

13

．
B．（不等式选讲选做题）若不等式|x+1|+|x-2|＞5的解集为

（-∞，-2）∪（3，+∞）

．
C．（几何证明选讲选做题）如图，点A，B，C是圆O上的点，且BC=6，∠BAC=120°，则圆O的面积等于

12π

．

Answer 1

分析：A，可设极点为O，则∠AOB=

π

3

，而|OA|=3，|OB|=4，由余弦定理即可求得AB两点间的距离；
B，可构造函数f（x）=|x+1|+|x-2|=

-2x+1 (x≤-1) 3      (-1＜x＜2) 2x-1  (x≥2)

，由f（x）＞5即可求得其解集；
C，由正弦定理

|BC|

sin∠BAC

=2R（R为圆O的半径）即可求得R，从而可得圆O的面积．

解答：解：A：设极点为O，∵在极坐标系中，两点为A(3，

π

3

)，B(4，

2π

3

)，
∴∠AOB=

π

3

，又|OA|=3，|OB|=4，
∴|AB|²=|OA|²+|OB|²-2|OA|•|OB|cos∠AOB=9+16-2×3×4×

1

2

=13，
∴|AB|=

13

；
B：令f（x）=|x+1|+|x-2|，则f（x）=

-2x+1 (x≤-1) 3      (-1＜x＜2) 2x-1  (x≥2)

，
∵|x+1|+|x-2|＞5，
∴当x≤-1，-2x+1＞5，解得x＜-2
当-1＜x＜2，有3＞5（舍去）
当x≥2，2x-1＞5解得x＞3．
综上所述，f（x）＞5的解集为{x|x＜-2或x＞3}；
C：在△ABC中，设△ABC中的外接圆的半径为R，面积为S，
∵BC=6，∠BAC=120°，
∴由正弦定理得：

|BC|

sin∠BAC

=2R，即

6

sin120°

=4

3

=2R，
∴R=2

3

，
∴S=πR²=12π．
故A的答案为：

13

；B的答案为：{x|x＜-2或x＞3}；C的答案为：12π．

点评：本题A考查简单曲线的极坐标方程，B考查绝对值不等式，C考查正弦定理，着重考查正弦定理与余弦定理的应用及绝对值不等式的解法，属于基础题．