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(1)求函数y=(1-x)的最大值(0<x<1);

(2)求函数y=x(1-)的最大值(0<x<1).

答案:
解析:

  解(1)∵0<x<1,∴1-x>0,∴当=1-x,即x=时,y=4··(1-x)≤4·,当=1-x,即x=时,y达到最大值

  (2)∵0<x<1,∴0<1-<1,从而y>0,故为求y的最大值,可先求的最大值.,∵+(1-)=2,∴当,即达到最大值,∴y也达到最大值


提示:

注 也可这样分拆y=·x·x(2-2x),即要将表达式中相应的项拆成若干相等的部分.


练习册系列答案
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函数的一段图象如图所示.

(1)求函数yf(x)的解析式;

(2)将函数yf(x)的图象向右平移个单位,得到y=g(x)的图象,求函数g(x)在内的单调递增区间。

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已知函数f(x)=cosx-sinx+1(x∈R).

(1)求函数y=f(x)的最大值,并指出取得最大值时相应的x的值;

(2)求函数y=f(x)的单调增区间.

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(1)求函数yf(x)的单调区间;

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(3)当x∈(1,+∞)时,用数学归纳法证明

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科目:高中数学 来源:2013届黑龙江虎林高中高二下学期期中理科数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知函数f(x)=alnx-x2+1.

(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x-y+b=0,求实数a和b的值;

(2)若a<0,且对任意x1、x2∈(0,+∞),都|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|,求a的取值范围.

【解析】第一问中利用f′(x)=-2x(x>0),f′(1)=a-2,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0,

由已知得a-2=4,2-a=b,所以a=6,b=-4.

第二问中,利用当a<0时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数,

不妨设0<x1≤x2,则|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),|x1-x2|=x2-x1

∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等价于f(x1)-f(x2)≥x2-x1

即f(x1)+x1≥f(x2)+x2,结合构造函数和导数的知识来解得。

(1)f′(x)=-2x(x>0),f′(1)=a-2,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0,

由已知得a-2=4,2-a=b,所以a=6,b=-4.

(2)当a<0时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数,

不妨设0<x1≤x2,则|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),|x1-x2|=x2-x1

∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等价于f(x1)-f(x2)≥x2-x1,即f(x1)+x1≥f(x2)+x2

令g(x)=f(x)+x=alnx-x2+x+1,g(x)在(0,+∞)上是减函数,

∵g′(x)=-2x+1=(x>0),

∴-2x2+x+a≤0在x>0时恒成立,

∴1+8a≤0,a≤-,又a<0,

∴a的取值范围是

 

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