Question

【题目】已知向量 =（a，cos2x）， =（1+sin2x ， ），x∈R，记f（x）= ．若y=f（x）的图象经过点（ ，2 ）．
（1）求实数a的值；
（2）设x∈[﹣ ， ]，求f（x）的最大值和最小值；
（3）将y=f（x）的图象向右平移 ，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调递减区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= =a（1+sin2x）+ cos2x 经过点（ ，2 ）．

∴f（ ）=2

∴a=1；

（2）解：∵a=1∴f（x）=sin2x+ cos2x+1=2sin（2x+ ）+1

∵x∈[﹣ ， ]∴2x+

∴f（x）min=0，f（x）max=3

（3）解：∵将y=f（x）的图象向右平移 可得 y=2sin（2x+ ）+1

将y=f（x）的图象横坐标伸长到原来的4倍可得：y=2sin（ x+ ）+1

令 可求出

故函数g（x）的单调递减区间为：

【解析】（1）表示出函数f（x）后将点代入即可求出a的值．（2）将a的值代入函数f（x），由x的取值区间可求出最值．（3）先将函数f（x）平移变换得到函数g（x），再求其单调区间．
【考点精析】通过灵活运用平面向量的坐标运算，掌握坐标运算：设，则;;设，则即可以解答此题．