Question

19．设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁=1，设数列{b_n}满足b_n=a_n+2ⁿ．
（1）求证数列{b_n}为等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列c_n=$\frac{6n-3}{{b}_{n}}$，T_n是数列{c_n}的前n项和，证明T_n＜3．

Answer 1

分析 （1）在已知数列递推式中取n=n-1，得另一递推式，两式作差可得a_n+1=3a_n+2ⁿ，进一步得到b_n+1=a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ）=3b_n，即{b_n}是以3为首项，3为公比的等比数列，求出等比数列{b_n}的通项公式可得数列{a_n}的通项公式；
（2）把（1）中求得的{b_n}的通项公式代入c_n=$\frac{6n-3}{{b}_{n}}$，利用错位相减法求出数列{c_n}的前n项和T_n，即可证明T_n＜3．

解答 （1）解：∵2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，
∴当n≥2时，有$2{S}_{n-1}={a}_{n}-{2}^{n}+1$，
两式作差得：2a_n=a_n+1-a_n-2ⁿ，即a_n+1=3a_n+2ⁿ，
从而b_n+1=a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ）=3b_n，
故{b_n}是以3为首项，3为公比的等比数列，
∴b_n=a_n+2ⁿ=3×3^n-1=3ⁿ，
则a_n=3ⁿ-2ⁿ（n≥2），
∵a₁=1也满足，
于是a_n=3ⁿ-2ⁿ；
（2）证明：c_n=$\frac{6n-3}{bn}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n-1}}$，
则T_n=$\frac{1}{{3}^{0}}+\frac{3}{{3}^{1}}+\frac{5}{{3}^{2}}+…+\frac{2n-3}{{3}^{n-2}}+\frac{2n-1}{{3}^{n-1}}$  ①，
$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{1}{{3}^{1}}+\frac{3}{{3}^{2}}+\frac{5}{{3}^{3}}+…+\frac{2n-3}{{3}^{n-1}}+\frac{2n-1}{{3}^{n}}$ ②，
①-②得，$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{{3}^{0}}+\frac{2}{{3}^{1}}+\frac{2}{{3}^{2}}+…+\frac{2}{{3}^{n-1}}-\frac{2n-1}{{3}^{n}}$
=1+$\frac{2}{3}•\frac{1-\frac{1}{{3}^{n-1}}}{1-\frac{1}{3}}-\frac{2n-1}{{3}^{n}}$=2-$\frac{1}{{3}^{n-1}}-\frac{2n-1}{{3}^{n}}$=2-$\frac{2（n+1）}{{3}^{n}}$，
故T_n=3-$\frac{n+1}{{3}^{n-1}}$＜3．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．