Question

8．中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上的椭圆E经过两点$R（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{{\sqrt{6}}}{2}}），Q（{\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$．分别过椭圆E的焦点F₁、F₂的动直线l₁，l₂相交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率k₁、k₂、k₃、k₄满足k₁+k₂=k₃+k₄．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在定点M、N，使得|PM|+|PN|为定值．若存在，求出M、N点坐标并求出此定值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），则由题意有$\left\{\begin{array}{l}9m+2n=4\\ 3m+6n=4\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}m=\frac{1}{3}\\ n=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，即可求椭圆E的方程；
（2）当直线l₁或l₂斜率不存在时，P点坐标为（-1，0）或（1，0）．当直线l₁、l₂斜率存在时，设斜率分别为m₁，m₂．可得l₁的方程为y=m₁（x+1），l₂的方程为y=m₂（x-1）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），与椭圆方程联立即可得出根与系数的关系，再利用斜率计算公式和已知即可得出m₁与m₂的关系，进而得出答案．

解答 解：（1）设椭圆的方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n）…（1分）
将$P（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{{\sqrt{6}}}{2}}），Q（{\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$代入有$\left\{\begin{array}{l}9m+2n=4\\ 3m+6n=4\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}m=\frac{1}{3}\\ n=\frac{1}{2}\end{array}\right.$…（3分）
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．…（4分）
（2）焦点x、y坐标分别为（-1，0）、（1，0）．
当直线l₁或l₂斜率不存在时，P点坐标为（-1，0）或（1，0）．
当直线l₁、l₂斜率存在时，设斜率分别为m₁，m₂．
∴l₁的方程为y=m₁（x+1），l₂的方程为y=m₂（x-1）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
联立l₁与椭圆方程，得到（2+3m₁²）x²+6m₁²x+3m₁²-6=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{6{{m}_{1}}^{2}}{2+3{{m}_{1}}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{{m}_{1}}^{2}-6}{2+3{{m}_{1}}^{2}}$．
同理x₃+x₄=$\frac{6{{m}_{2}}^{2}}{2+3{{m}_{2}}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{3{{m}_{2}}^{2}-6}{2+3{{m}_{2}}^{2}}$．（*）
∵k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=m₁+$\frac{{m}_{1}}{{x}_{1}}$，k₂=m₁+$\frac{{m}_{1}}{{x}_{2}}$，k₃=m₂-$\frac{{m}_{2}}{{x}_{3}}$，k₄=m₂-$\frac{{m}_{2}}{{x}_{4}}$．
又满足k₁+k₂=k₃+k₄．
∴2m₁+m₁•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2m₂-m₂•$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{{x}_{3}{x}_{4}}$，
把（*）代入上式化为m₁m₂=-2．
设点P（x，y），则$\frac{y}{x+1}•\frac{y}{x-1}=-2$，（x≠±1）
化为$\frac{{y}^{2}}{2}$+x²=1，（x≠±1）．
由当直线l₁或l₂斜率不存在时，P点坐标为（-1，0）或（1，0）也满足，
∴点P在椭圆上，则存在点M、N其坐标分别为（0，-1）、（0，1），使得|PM|+|PN|=2$\sqrt{2}$为定值．…（12分）

点评 熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得出根与系数的关系、斜率计算公式等是解题的关键．