Question

（1）设x是正实数，求证：（x+1）（x²+1）（x³+1）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（x+1）（x²+1）（x³+1）≥8x³是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）将所给的不等式分成三个式子，用基本不等式即a＞0，b＞0，a+b≥2（当且仅当a=b时等号成立）进行证明；
（2）因为x∈R，所以分x＞0和x≤0两种情况进行证明，当x＞0时，由（1）知不等式成立；当x≤0时有8x³≤0，用立方和对不等式左边进行化简，利用配方求二次函数的最小值为0．
解答：证明：（1）∵x是正实数，由均值不等式知x+1≥2，
1+x²≥2x，
x³+1≥2，
∴（x+1）（x²+1）（x³+1）≥2•2x•2=8x³（当且仅当x=1时等号成立）；
故（x+1）（x²+1）（x³+1）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（x+1）（x²+1）（x³+1）≥8x³仍然成立，
当x＞0时，由（1）知不等式成立；
当x≤0时，8x³≤0，
∵（x³+1）=（x+1）（x²-x+1）
∴（x+1）（x²+1）（x³+1）=（x+1）²（x²+1）（x²-x+1）
=（x+1）²（x²+1）[（x-）²+]≥0，
综上可知，此时不等式仍然成立．
点评：本题考查了基本不等式在证明中的应用，注意前提条件都是正实数，当不是正实数时转化为求函数的最值，且证明不等式需要证明左边的最小值大于等于右边的最大值．