Question

（2013•资阳二模）如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=θ，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若

OP

=

xe1

+

ye2

（其中

e1

，

e2

分别是x轴，y轴同方向的单位向量），则P点的斜坐标为（x，y），向量

OP

的斜坐标为（x，y）．给出以下结论：
①若θ=60⁰，P（2，-1），则|

OP

|=

3

；
②若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

OP

+

OQ

=（x₁+x₂，y₁+y₂）；
③若

OP

=（x₁，y₁），

OQ

=（x₂，y₂），则

OP

-

OQ

=x₁x₂+y₁y₂；
④若θ=60⁰，以O为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为x²+y²+xy-1=0．
其中所有正确的结论的序号是

①②④

．

Answer 1

分析：①由θ=60⁰，P（2，-1），利用数量积得性质可得|

OP

|=

(2 e1 - e2 )2

=

4 e1 2+ e2 2-4 e1 • e2

=

4+1-4cos60°

即可得出；
②由P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用谢坐标系的定义可得

OP

=(x1，y1)，

OQ

=(x2，y2)，可得

OP

+

OQ

=（x₁+x₂，y₁+y₂），故正确；
③若

OP

=（x₁，y₁），

OQ

=（x₂，y₂），则

OP

-

OQ

=（x₁-x₂，y₁-y₂），即可判断出；
④若θ=60⁰，以O为圆心，1为半径的圆满足|

OP

|=1，设P（x，y），则

(x e1 +y e2

)2=1，化为x²+y²+2xycos60°=1，即可判断出．

解答：解：①∵θ=60⁰，P（2，-1），则|

OP

|=

(2 e1 - e2 )2

=

4 e1 2+ e2 2-4 e1 • e2

=

4+1-4cos60°

=

3

，故正确；
②∵P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∴

OP

=(x1，y1)，

OQ

=(x2，y2)，∴

OP

+

OQ

=（x₁+x₂，y₁+y₂），故正确；
③若

OP

=（x₁，y₁），

OQ

=（x₂，y₂），则

OP

-

OQ

=（x₁-x₂，y₁-y₂），故不正确；
④若θ=60⁰，以O为圆心，1为半径的圆满足|

OP

|=1，设P（x，y），则

(x e1 +y e2

)2=1，化为x²+y²+2xycos60°=1，化为x²+y²+xy-1=0．
故满足条件的圆的斜坐标方程为x²+y²+xy-1=0．正确．
综上可知：只有①②④正确．

点评：正确理解斜坐标系定义和掌握数量积得运算公式是解题的关键．